l*****g
发帖数: 8 | 1 一直很想学学什么是Manifold.能不能请人讲讲？
通常看书，Manifold总是从Transformation的角度
来定义的。能不能从欧氏空间的角度来定义一下。
这样比较直观一些。
希望能够超出“光滑可微曲面”的层次。最好能
举一两个例子，讲讲到底研究那些性质，有什么
意义等等。
我知道大家都很忙，先在这里谢了。 |
d*n
发帖数: 137 | 2 有一本写gei物理学工作者的书, 说Manifold就是欧空间曲线, 曲面
在高维空间的
推广.
纯数学的书总觉的玄玄的.
【在 l*****g 的大作中提到】
: 一直很想学学什么是Manifold.能不能请人讲讲？
: 通常看书，Manifold总是从Transformation的角度
: 来定义的。能不能从欧氏空间的角度来定义一下。
: 这样比较直观一些。
: 希望能够超出“光滑可微曲面”的层次。最好能
: 举一两个例子，讲讲到底研究那些性质，有什么
: 意义等等。
: 我知道大家都很忙，先在这里谢了。
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S*********g
发帖数: 5298 | 3 就是每个点都有一个领域能够和R^N同构.
实际上是用来研究局域性质的.
在流行中,可以没有距离的概念,等等,等等.
【在 l*****g 的大作中提到】
: 一直很想学学什么是Manifold.能不能请人讲讲？
: 通常看书，Manifold总是从Transformation的角度
: 来定义的。能不能从欧氏空间的角度来定义一下。
: 这样比较直观一些。
: 希望能够超出“光滑可微曲面”的层次。最好能
: 举一两个例子，讲讲到底研究那些性质，有什么
: 意义等等。
: 我知道大家都很忙，先在这里谢了。
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C******a
发帖数: 115 | 4 流形就是曲线和曲面的推广。你一定知道它的定义，
这里就不重复了。可以在上面定义切空间。在每一
个点处的切空间是由切向量组成的线性空间，维数
和流形的维数一样。然后比较有意思的一个研究方
向是黎曼几何：在每个切空间上定义一个内积，从
而使得曲面上任何一条曲线都有一个长度。最后得
出测地线（geodesic），在局部上，它是连接两点
的最短程线，但在整体上可能不是。从某种意义上
讲测地线相当于欧氏空间的直线。欧氏空间的直线
本身就是测地线。另一个测地线的例子是三维空间
中球面上的大圆。测地线是很有意思的，不过要学
到那里就要学联络，切向量场沿曲线求导等略微枯
燥些的内容。在测地线之后的一个比较有趣的概念
是曲率。欧氏空间的曲率是零，而非欧几何研究的
是一个曲率为非零常数的空间。
另外一个研究方向是在上面定义若干次的微分式。
i次的微分式求导得到i+1次的微分式，求导运算的
两次复合是零，从而可以定义一个上同调群来刻划
该流形的拓扑结构。
【在 l*****g 的大作中提到】
: 一直很想学学什么是Manifold.能不能请人讲讲？
: 通常看书，Manifold总是从Transformation的角度
: 来定义的。能不能从欧氏空间的角度来定义一下。
: 这样比较直观一些。
: 希望能够超出“光滑可微曲面”的层次。最好能
: 举一两个例子，讲讲到底研究那些性质，有什么
: 意义等等。
: 我知道大家都很忙，先在这里谢了。
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S*********g
发帖数: 5298 | 5 有这么可怕吗?
偶还是觉得弦的引进,以及超对称,
都是很自然的事情啊.
【在 C******a 的大作中提到】
: 流形就是曲线和曲面的推广。你一定知道它的定义，
: 这里就不重复了。可以在上面定义切空间。在每一
: 个点处的切空间是由切向量组成的线性空间，维数
: 和流形的维数一样。然后比较有意思的一个研究方
: 向是黎曼几何：在每个切空间上定义一个内积，从
: 而使得曲面上任何一条曲线都有一个长度。最后得
: 出测地线（geodesic），在局部上，它是连接两点
: 的最短程线，但在整体上可能不是。从某种意义上
: 讲测地线相当于欧氏空间的直线。欧氏空间的直线
: 本身就是测地线。另一个测地线的例子是三维空间
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l*****g
发帖数: 8 | 6 谢谢各位的回答。我想就闲云的回答再请教一下。
有说的不对的地方请多指教。
这个长度应该是内积积分的结果吧？那么在不同
的切空间上定义的内积是否可积呢？想必是要有
一定的条件的。这个条件是不是偏微分可微呢？
((df^2)/dx dy = (df^2)/dy dx)
最后得
所有在同一个流形上的“点”都有相同的曲率吗？
换而言之，椭圆是一个流形吗？又比如，在均匀
曲率的流形上，测地线是否就是整体意义上连接
两点的最短程线呢？
我对微分式不是很懂。但我听说过有人用流形
的概念来研究动态系统的。
谢谢。
【在 C******a 的大作中提到】
: 流形就是曲线和曲面的推广。你一定知道它的定义，
: 这里就不重复了。可以在上面定义切空间。在每一
: 个点处的切空间是由切向量组成的线性空间，维数
: 和流形的维数一样。然后比较有意思的一个研究方
: 向是黎曼几何：在每个切空间上定义一个内积，从
: 而使得曲面上任何一条曲线都有一个长度。最后得
: 出测地线（geodesic），在局部上，它是连接两点
: 的最短程线，但在整体上可能不是。从某种意义上
: 讲测地线相当于欧氏空间的直线。欧氏空间的直线
: 本身就是测地线。另一个测地线的例子是三维空间
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C******a
发帖数: 115 | 7
这里的内积是光滑的。具体光滑的意思涉及流形以及切
空间的定义，我一下说不清。但不需要你给的条件。
曲线的长度是通过对曲线导数的长度求积分得到的。
注意到切空间的一种定义就是过一点的曲线的导数。
换言之，曲线在一点处的导数就是该点的切向量。
该切向量的长度则是由内积给出。
所有点都有相同曲率的流形是很特殊的流形了。
椭圆当然是一个流形。球面是个均匀正曲率的流形，
其上的测地线是大圆。两点间的测地线通常有两种
连接方法，其中只有劣弧是连接两点的最短程线。
这方面我不懂。
【在 l*****g 的大作中提到】
: 谢谢各位的回答。我想就闲云的回答再请教一下。
: 有说的不对的地方请多指教。
:
: 这个长度应该是内积积分的结果吧？那么在不同
: 的切空间上定义的内积是否可积呢？想必是要有
: 一定的条件的。这个条件是不是偏微分可微呢？
: ((df^2)/dx dy = (df^2)/dy dx)
: 最后得
: 所有在同一个流形上的“点”都有相同的曲率吗？
: 换而言之，椭圆是一个流形吗？又比如，在均匀
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