d**e
发帖数: 2420 | 1 假设r1,r2,...,rn,h1,h2,...,hn都是正常数，且满足
r1+r2+...+rn=1 and h1+h2+...+hn=1,
那么是否有r1^2/h1+r2^2/h2+...+rn^2/hn>=1?
试着用一下cauchy不等式没搞定，请大家帮忙。非常感谢。 | z***e
发帖数: 5600 | 2 Use cauchy inequality
Sum ri^2/hi * Sum hi >= ( Sum sqrt( ri^2/hi * hi ) )^2
★ 发自iPhone App: ChineseWeb 7.8
【在 d**e 的大作中提到】
: 假设r1,r2,...,rn,h1,h2,...,hn都是正常数，且满足
: r1+r2+...+rn=1 and h1+h2+...+hn=1,
: 那么是否有r1^2/h1+r2^2/h2+...+rn^2/hn>=1?
: 试着用一下cauchy不等式没搞定，请大家帮忙。非常感谢。
| z*********r
发帖数: 8 | 3 乘个1试试
(h1+h2+...+hn)*(r1^2/h1+r2^2/h2+...+rn^2/hn)>=1
【在 d**e 的大作中提到】
: 假设r1,r2,...,rn,h1,h2,...,hn都是正常数，且满足
: r1+r2+...+rn=1 and h1+h2+...+hn=1,
: 那么是否有r1^2/h1+r2^2/h2+...+rn^2/hn>=1?
: 试着用一下cauchy不等式没搞定，请大家帮忙。非常感谢。
| d**e
发帖数: 2420 | | s*****V
发帖数: 21731 | 5 我刚刚搞了一下，也搞定了，柯西施瓦茨真是老少高低皆宜。 | d****n
发帖数: 397 | 6 两边加1,然后将左边的1，写成h1+...+hn.然后用ri^2/hi+hi>=2*ri。
sigmai_i(ri^2/hi)+1>=sigma_i (ri)=2
所以sigma_i (ri^2/hi)>=1
等号当ri^2/hi=hi时成立
【在 d**e 的大作中提到】
: 楼上二位都是对的，非常非常感谢。
| z***e
发帖数: 5600 | 7 This is very nice without using Cauchy-Schwartz
【在 d****n 的大作中提到】
: 两边加1,然后将左边的1，写成h1+...+hn.然后用ri^2/hi+hi>=2*ri。
: sigmai_i(ri^2/hi)+1>=sigma_i (ri)=2
: 所以sigma_i (ri^2/hi)>=1
: 等号当ri^2/hi=hi时成立
| b*******n
发帖数: 5065 | 8
it uses the simplest form of C-I.
【在 z***e 的大作中提到】
: This is very nice without using Cauchy-Schwartz
| s**e
发帖数: 1834 | 9 it uses "x^2 + y^2 >= 2xy",
not looks like C-I to me.
【在 b*******n 的大作中提到】
:
: it uses the simplest form of C-I.
| n***p
发帖数: 7668 | 10 Take u=(x,y), v=(y,x), then use Cauchy-Schwarz inequality on
u and v to obtain x^2 + y^2 >= 2xy.
战无不胜的Cauchy-Schwarz不等式万岁！
【在 s**e 的大作中提到】
: it uses "x^2 + y^2 >= 2xy",
: not looks like C-I to me.
| s**e
发帖数: 1834 | 11 这个用的更象是Quxian-Jiuguo，呵呵。
【在 n***p 的大作中提到】
: Take u=(x,y), v=(y,x), then use Cauchy-Schwarz inequality on
: u and v to obtain x^2 + y^2 >= 2xy.
: 战无不胜的Cauchy-Schwarz不等式万岁！
| i*****e
发帖数: 68 | 12 喜欢这个证明.能用简单工具解决问题最好.
如果把条件sum h_i =sum r_i =1 去掉,你这个办法实际上证明了
2sum r_i -sum h_i <= sum(r_i^2/h_i).
前面几位用C-S证明的是
(sum r_i)^2 /(sum h_i)<= sum(r_i^2/h_i).
由于2sum r_i -sum h_i <=(sum r_i)^2 /(sum h_i),所以C-S 实际上证明了一个更强
的不等式.总之,个有长处吧.
【在 d****n 的大作中提到】
: 两边加1,然后将左边的1，写成h1+...+hn.然后用ri^2/hi+hi>=2*ri。
: sigmai_i(ri^2/hi)+1>=sigma_i (ri)=2
: 所以sigma_i (ri^2/hi)>=1
: 等号当ri^2/hi=hi时成立
| d****n
发帖数: 397 | 13 恩，不错的讨论，受教了。
【在 i*****e 的大作中提到】
: 喜欢这个证明.能用简单工具解决问题最好.
: 如果把条件sum h_i =sum r_i =1 去掉,你这个办法实际上证明了
: 2sum r_i -sum h_i <= sum(r_i^2/h_i).
: 前面几位用C-S证明的是
: (sum r_i)^2 /(sum h_i)<= sum(r_i^2/h_i).
: 由于2sum r_i -sum h_i <=(sum r_i)^2 /(sum h_i),所以C-S 实际上证明了一个更强
: 的不等式.总之,个有长处吧.
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