a*******e
发帖数: 371 | 1 有个问题是有一个关于变量y的积分，积分区域是一个曲面S，被积函数里有个曲面S的
法向量n（y）。现在有一个变换y=f(x),通过这个变换后曲面S变成了另一个曲面S'，我
想问的是法向量n(y)，变成了什么？我看的一个笔记上是Dn(f(x)).D是个
transformation matrix,查了一些资料说是这个变换矩阵的逆的转置，想问下这个矩阵
和这个变换的jacob矩阵有啥关系没？或者除了这个逆的转置，还有其他表示方法没？
（比如说倒数啥的）
问得比较混乱,不好意思 | E*****T
发帖数: 1193 | 2 首先，f的定义域必须是包含S的邻域，值域也是包含S'的邻域。
那么，在a点切向量如果为(a1,a2,a3)
经过f,变为了f(a)=b点的切向量，坐标为Df(a) (a1,a2,a3),其中Df(a)为f在a点的
jabobi矩阵。 | a*******e
发帖数: 371 | 3 有个问题是有一个关于变量y的积分，积分区域是一个曲面S，被积函数里有个曲面S的
法向量n（y）。现在有一个变换y=f(x),通过这个变换后曲面S变成了另一个曲面S'，我
想问的是法向量n(y)，变成了什么？我看的一个笔记上是Dn(f(x)).D是个
transformation matrix,查了一些资料说是这个变换矩阵的逆的转置，想问下这个矩阵
和这个变换的jacob矩阵有啥关系没？或者除了这个逆的转置，还有其他表示方法没？
（比如说倒数啥的）
问得比较混乱,不好意思 | E*****T
发帖数: 1193 | 4 首先，f的定义域必须是包含S的邻域，值域也是包含S'的邻域。
那么，在a点切向量如果为(a1,a2,a3)
经过f,变为了f(a)=b点的切向量，坐标为Df(a) (a1,a2,a3),其中Df(a)为f在a点的
jabobi矩阵。 | a*******e
发帖数: 371 | 5 那法向量呢？在a点的法向量是n的话，在b点的法向量就是Df(a)n吗？
【在 E*****T 的大作中提到】
: 首先，f的定义域必须是包含S的邻域，值域也是包含S'的邻域。
: 那么，在a点切向量如果为(a1,a2,a3)
: 经过f,变为了f(a)=b点的切向量，坐标为Df(a) (a1,a2,a3),其中Df(a)为f在a点的
: jabobi矩阵。
| E*****T
发帖数: 1193 | 6 任何向量都适用，前提是f是定义在包含S的一个邻域上的。 | n***p
发帖数: 7668 | 7 We can write S as the zero level set of a function h, i.e.,
assume S = {y: h(y) = 0}.
Then the normal n(y) at y\in S is the gradient of h, that is
n(y) = \nabla h (y). Assume |\nabla h(y)|=1.
Then S' = {x: y=f(x)\in S} = {x: h(f(x)) = 0}.
So S' is the zero level set of h(f(x)).
The normal n'(x) at x\in S' is the gradient of
h(f(x)). So
n'_i = \sum_j h_j(f(x)) \frac{d f_j}{d x_i}.
Here I use h_j to indicate the partial derivative of h in y_j.
Let J = \frac{d f_i}{d x_j} (x) be the Jacobian matrix of f.
Then
n' = J' \nabla h (f(x)) = J' n(f(x)).
Here J' is the transpose of J.
So in your original problem, D = J', the transpose of the
Jacobian at x.
【在 a*******e 的大作中提到】
: 那法向量呢？在a点的法向量是n的话，在b点的法向量就是Df(a)n吗？
| E*****T
发帖数: 1193 | 8 LS给出的就是很容易犯的一个错误，认为S的法向量经过f一定是变成了S'的法向量，而
不顾f的取法。举个例子，f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)和g(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2
,2 x_3)都引导了R^2到R^2的恒同映射，但为什么用f和g算出来的会不一样?
在n维空间中，两个n-1维曲面间的光滑映射f只决定了n-1个方向向量的对应关系，也就
是决定了切向量,而法向量的像无法由f本身决定，不同的延拓决定了不同的像，例如例
子中的f和g作用在单位法向量上的结果完全不同。
当然我给的结果好像也不对，好象是Df的转置吧。把LS给出的gradient改成一条曲线的
导数，然后照着算一下吧。 | n***p
发帖数: 7668 | 9 我从来没有“认为S的法向量经过f一定是变成了S'的法向量”，而且推导结果也不是
法向量变成了法向量。
我的推导里面有一个假定就是S是嵌入在一个高一维的空间里，这是为什么我把它写成
一个Zero Level Set. 而这个变换 y=f(x) 根本就是在这个高一维的空间里。
In the previous post, I did not say n' was a unit vector. And
it is in fact not in most cases. You need to normalize it if
you want the unit normal. But for LZ's original question, since
he was dealing with a surface integral, it may not be necessary
to normalize it, as it is just a change of variable, unless he
need to use other tricks like divergence theorem, etc.
In your example， f, g are both identity mapping from R^2 to R^2.
The normal vector of R^2 is (0,0,1). My calculation shows
the normal of the image under f is (0,0,1) and the normal of the
image under g is (0,0,2). What is the difference after
normalization?
_2
【在 E*****T 的大作中提到】
: LS给出的就是很容易犯的一个错误，认为S的法向量经过f一定是变成了S'的法向量，而
: 不顾f的取法。举个例子，f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)和g(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2
: ,2 x_3)都引导了R^2到R^2的恒同映射，但为什么用f和g算出来的会不一样?
: 在n维空间中，两个n-1维曲面间的光滑映射f只决定了n-1个方向向量的对应关系，也就
: 是决定了切向量,而法向量的像无法由f本身决定，不同的延拓决定了不同的像，例如例
: 子中的f和g作用在单位法向量上的结果完全不同。
: 当然我给的结果好像也不对，好象是Df的转置吧。把LS给出的gradient改成一条曲线的
: 导数，然后照着算一下吧。
| n***p
发帖数: 7668 | 10 There is another question is about the orientation of S and S'.
I assume that f preserves the orientation, otherwise there should
be a sign change.
【在 n***p 的大作中提到】
: 我从来没有“认为S的法向量经过f一定是变成了S'的法向量”，而且推导结果也不是
: 法向量变成了法向量。
: 我的推导里面有一个假定就是S是嵌入在一个高一维的空间里，这是为什么我把它写成
: 一个Zero Level Set. 而这个变换 y=f(x) 根本就是在这个高一维的空间里。
: In the previous post, I did not say n' was a unit vector. And
: it is in fact not in most cases. You need to normalize it if
: you want the unit normal. But for LZ's original question, since
: he was dealing with a surface integral, it may not be necessary
: to normalize it, as it is just a change of variable, unless he
: need to use other tricks like divergence theorem, etc.
| E*****T
发帖数: 1193 | 11
So S' is the zero level set of h(f(x)).
The normal n'(x) at x\in S' is the gradient of
h(f(x))
你这个n'(x)就是新曲面S'的法向量，而不是f引导的n(y)的像。
【在 n***p 的大作中提到】
: There is another question is about the orientation of S and S'.
: I assume that f preserves the orientation, otherwise there should
: be a sign change.
| E*****T
发帖数: 1193 | 12 用LZ的记号的话，
f是包含S'的邻域到包含S的邻域的一个微分同胚（为了保证确实有这样一个n(y)的拉回
），
f(x)=y
那么，令r(t)=(r_1(t),r_2(t),...r_n(t))为经过x点的曲线，r(0)=x。那么LZ的问题
就是找到一条这样的曲线，使得f(r(t))这条新曲线，满足f(r(0))=y(显然）并且
d(f(r(t))/dt=n(y)
即Df(x)(r'_1(0),r'_2(0),...,r'_n(0))^T=(n_1(y),n_2(y),...n_n(y))^T
其中Df(x)为f在x点的Jacobi矩阵，由于是微分同胚，Df(x)非退化。
(r'_1(0),r'_2(0),...,r'_n(0))=r'(0)就是你要的f把n(y)拉回的向量坐标，所以
(r'_1(0),r'_2(0),...,r'_n(0)）^T=Df(x)^{-1}(n_1(y),n_2(y),...n_n(y))^T
其中，Df(x)^{-1}为Df(x)的逆，也等于Df^{-1}(y). | n***p
发帖数: 7668 | 13 我的答案是针对LZ的问题
“那法向量呢？在a点的法向量是n的话，在b点的法向量就是Df(a)n吗？”
你的答案是针对“f引导的n(y)的像”。
这是两个不同的问题。
【在 E*****T 的大作中提到】
: 用LZ的记号的话，
: f是包含S'的邻域到包含S的邻域的一个微分同胚（为了保证确实有这样一个n(y)的拉回
: ），
: f(x)=y
: 那么，令r(t)=(r_1(t),r_2(t),...r_n(t))为经过x点的曲线，r(0)=x。那么LZ的问题
: 就是找到一条这样的曲线，使得f(r(t))这条新曲线，满足f(r(0))=y(显然）并且
: d(f(r(t))/dt=n(y)
: 即Df(x)(r'_1(0),r'_2(0),...,r'_n(0))^T=(n_1(y),n_2(y),...n_n(y))^T
: 其中Df(x)为f在x点的Jacobi矩阵，由于是微分同胚，Df(x)非退化。
: (r'_1(0),r'_2(0),...,r'_n(0))=r'(0)就是你要的f把n(y)拉回的向量坐标，所以
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