t***o
发帖数: 4265 | 1 S是一个 PxK tall real matrix（行数P>列数K）,它的每个列向量都为单位向量，
并且各列线性无关：
S=[S_1 S_2 ... S_K],
S_i'*S_i=1, where ' is transpose;
S_i and S_j are independent for any unequal i and j.
M = S'*S
容易知道 M 是个 KxK 对称矩阵，并且主对角线元素M(n,n)都为1。
我用matlab试验发现, K越大，M^(-1)的主对角线元素M^(-1)(n,n)也越大。
比如，M^(-1)(1,1)随着K增大而则增大。K
猜想，M^(-1)(n,n) monotonically increases with K.
请问能从理论上证明这个结论吗？ | l******n
发帖数: 9344 | 2
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你是说列是正交的？
M不是I?
【在 t***o 的大作中提到】
: S是一个 PxK tall real matrix（行数P>列数K）,它的每个列向量都为单位向量，
: 并且各列线性无关：
: S=[S_1 S_2 ... S_K],
: S_i'*S_i=1, where ' is transpose;
: S_i and S_j are independent for any unequal i and j.
: M = S'*S
: 容易知道 M 是个 KxK 对称矩阵，并且主对角线元素M(n,n)都为1。
: 我用matlab试验发现, K越大，M^(-1)的主对角线元素M^(-1)(n,n)也越大。
: 比如，M^(-1)(1,1)随着K增大而则增大。K: 猜想，M^(-1)(n,n) monotonically increases with K.
| t***o
发帖数: 4265 | 3
各列不一定是正交的，但都是单位向量并且线性无关（所以S的秩是K, rank(S)=K）。
M不是I。M的主对角线元素都为1，非对角线元素都小于1。
【在 l******n 的大作中提到】
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: 你是说列是正交的？
: M不是I?
| c******s
发帖数: 270 | 4 这个猜想是不成立的， 反例就是选择 S_i S_j 正交， M 总是单位阵 I， 无论 K 有
多大。
至于你的实验， 我想是因为你的列向量的非零元素很多， 随 K 增加的，
这样得到的对称矩阵 M 在主对角线之外又很多非零的元素， 导致了 M 的特征值越来
越小，
因此M^(-1)的特征值越来越大。
【在 t***o 的大作中提到】
: S是一个 PxK tall real matrix（行数P>列数K）,它的每个列向量都为单位向量，
: 并且各列线性无关：
: S=[S_1 S_2 ... S_K],
: S_i'*S_i=1, where ' is transpose;
: S_i and S_j are independent for any unequal i and j.
: M = S'*S
: 容易知道 M 是个 KxK 对称矩阵，并且主对角线元素M(n,n)都为1。
: 我用matlab试验发现, K越大，M^(-1)的主对角线元素M^(-1)(n,n)也越大。
: 比如，M^(-1)(1,1)随着K增大而则增大。K: 猜想，M^(-1)(n,n) monotonically increases with K.
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